Sintexis y Semantica

Sistemas de Ecuaciones con dos incognitas

Sistemas de ecuaciones con dos incognitas

1) 2x-y=10
-3x+5=4

2) 1/2x-4y =5
3x+1/4y

2x-y= 10 (por 3)
-3x+5y =4 (por 2)

Eliminando a "X"

6x-3y =30 Comprobacion
-6x+10y =8 2(54/7)-38/7 =10 -3(54/7) +5 (38/7) =4
________ 108/7 -38/7 =10 -112/7 + 190/7 =4
7y =38 70/7=10 28/7=4
y =38/7 10/10 4=4

2x-38/7 =10
2x+10= 38/7
2x= 108/7
x=108/14

Despejamos una de las variables de las ecuaciones

2x-y=10 1) 2x-y=10 2) -3x+5y=4
-3x+5y=4 x=(10+y)/2 x=(4-5y)/-3

Igualamos Sustituimos

(4-5y)/3 = (10+y)2 x=(10+38/7)/2
2(4-5y) =3(10+y) x=108/14
8-10y=-30-3y
-10y+3y =-30-8
-7y=-38
y=-38/-7
y=38/7

Metodo de sustitucion

2x-y=10
-3x+5y=4

Despejamos una de las variables de cualquier ecuacion

2x-y=10
-y=10-2x (por -1)
y= -10+2x

Sustituir en la segunda ecuacion

-3x+5(-10+2x)=4
-3x-50+10x=4
7x=4+50
x=54/7



La suma de dos numeros es 56. 1/3 del primer numero mas 1/4 del 2do numero es 16. Encontrar los numeros

x+y=56
1/3x+1/4y=16

1) x+y=56
2) 1/3x+1/4y=16 (por12)
3)y=56-x

4x+3y=192
3y=192-4x
y=(192-4x)/3

x+y=56
4x+3y=192
56-x=(192-4x)/3

3(56-x)=192-4x y=56-24
168-3x=192-4x y=32
-3x+4x=192-168
x=24

Un equipo de beisbol jugo 162 partidos gano 44 juegos mas de los que perdio ¿cuantos partidos perdio?


x+y=162
x=44+y

x+y=162
x-y=44 162-103=y
______ y=59
2x =206
x=206/2
x=103

Ramon vende autos y camiones tiene espacio en su lote para 150 vehiculos. Por experiencia sabe que sus utilidades son mayores si tienes 190 autos mas que camiones.¿ cuantos autos y cuantos camiones debe tener?

x+y=510 x=190+y

x-y=190 x-190=y

2x=700 350-190=y

x=700/2 y=160

x=350

Maritza es 21 años mas grande que Laura en 6 años mas tendra el doble de la edad de laura.¿Ques edad tiene ahora?

x=21+y x=6+2y

x-y=21 x-2y=6

y=-21+x y=(-6+x)/2

Igualacion

-21+x =(-66+x)/2 2x-x=-6+42
2(-21+x)=-6+x x=36
-42+2x=-6+x

y=-21+x
y=-21+36
y=15

Simplificar

a(a-3b)+7(2a+b)-5b(2a+b)
a²-3ab+14a+7b-10ab-5b²
a²-13ab+14a+7b-5b²


Factorizar

4x²-7x+3
16x²-7(4x)+12
(4x-4) (4x-3)


Factorizacion


Factor comun
ax+ay=a(x+y)

Factorizacion de trinomios
x²+bx+c
ax²+bx+c

Diferencia de cuadrados
x²-b²

Donde b es un numero de raiz cuadrada exacta

Suma y diferencia de cubos
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Factorizacion por agrupacion de terminos
6x-5y+12zx-107y

Ejemplos

1) 3x³-9x²-6x= 3x(x²-3x-2)

2) 14a³bc²+28a²b²c²-7a³bc

Propiedades de la igualdad, suma y resta

Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro. Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4 Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4) Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5. Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

Propiedades de la resta

La resta no tiene las propiedades de la suma.La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. Si eso no ocurre esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del minuendo con la del substraendo.La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.

Propiedades de la igualdad

Propiedad identica o asociativa: establece que toda cantidad o expresion es igual a si misma.

Ejemplos:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad simetrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Ejemplos:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11

Si a - b = c, entonces c = a - b

Si x = y, entonces y = x

Propiedad Transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en comun, los otros dos miembros tambien son iguales.

Ejemplos:

Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5

Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Si m = n y n = p, entonces m = p

Propiedad uniforme: establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva.

Ejemplos:

Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)

Si a = b, entonces a + x = b + x

Si 3y = 12, entonces

Propiedad cancelativa: dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.

Ejemplos:

Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12

Si a + b = c + b, entonces a = c

Si (8 * 4) (5) = (2) (5), entonces 8 / 4 = 2

Numeros Reales

Numeros Reales
En matemáticas, los números reales pueden ser descritos informalmente de varias formas, las cuales aunque accesibles al lego, no tienen el rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas. En primera instancia, se puede describir a los números reales como todos aquellos que poseen una expansión decimal. Los números reales incluyen tanto a los números racionales como 31, 25.4, 37/22, así como a los números irracionales tales como

Representación geométrica de los números reales
A los números reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, en una recta en la cual hay un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido. Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos una sucesión de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1; 2; 3; : : :; (estos puntos representan a los números naturales).

Factorizacion

Factorizacion

• Factor comun

ax+ay=a(x+y)

• Factorizacion de trinomios

x²+bx+c
ax²+bx+c

• Diferencia de cuadrados

x²-b²

Donde b es un numero de raiz cuadrada exacta

• Suma y diferencia de cubos

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

• Factorizacion por agrupacion de terminos

6x-5y+12zx-107y

Ejemplos

1) 3x³-9x²-6x= 3x(x²-3x-2)

2) 14a³bc²+28a²b²c²-7a³bc